Nechť RR označuje množinu reálných čísel. Najít všechny funkce f: RR-> RR, vyhovující abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) pro všechny x, y patří RR.?

Odpovědět:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

Vysvětlení:

Li #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # pak #f (x) # je kontinuální Lipschitz. Takže funkce #f (x) # je diferencovatelný. Potom následuje

#abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # nebo

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # Nyní

#lim_ (x-> y) abs ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy))) = abs (f '(y)) = 2 #

tak

#f (x) = pm 2 x + C_0 #