Ukážte, že rovnice x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 má přesně jedno řešení na [0, 1]?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Zaprvé, pojďme spočítat #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # na hranici naší domény:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Pokud vypočteme derivaci

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Vidíme, že je vždy pozitivní #0,1#. Ve skutečnosti, # x ^ 2 + 1 # je vždy pozitivní a # 4x # je samozřejmě pozitivní #X# je pozitivní.

Takže naše funkce začíná pod #X# osa, protože #f (0) <0 #a končí nad #X# osa, protože #f (1)> 0 #. Funkce je polynom a je tedy spojitá.

Pokud spojitá čára začíná pod osou a končí výše, znamená to, že ji musela překonat někde mezi nimi. A skutečnost, že derivace je vždy pozitivní, znamená, že funkce stále roste, a tak nemůže dvakrát překročit osu, tedy důkaz.