Co jsou asymptota (y) a díra (y), pokud existuje, f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Odpovědět:

# x = 0 # je asymptota.

# x = 1 # je asymptota.

#(3, 5/18)# je díra.

Vysvětlení:

Zaprvé, pojďme zjednodušit náš zlomek, aniž bychom něco zrušili (protože budeme brát limity a zrušit věci, které by s tím mohly být nepořádek).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Nyní: díry a asymptoty jsou hodnoty, které činí funkci nedefinovanou. Vzhledem k tomu, že máme racionální funkci, bude nedefinováno, zda a jen tehdy, když je jmenovatel roven 0. Proto musíme pouze zkontrolovat hodnoty #X# které jmenují jmenovatele #0#, což jsou:

# x = 0 #

# x = 1 #

# x = 3 #

Abychom zjistili, zda se jedná o asymptoty nebo díry, pojďme vzít limit #f (x) # tak jako #X# přistupuje ke každému z těchto čísel.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3)) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

Tak # x = 0 # je asymptota.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2) = + -oo #

Tak # x = 1 # je asymptota.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Tak #(3, 5/18)# je díra v #f (x) #.

Konečná odpověď