Jaká je rovnice normální linie f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x při x = 7?

Odpovědět:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Vysvětlení:

Normální přímka v bodě je přímka kolmá k tečné přímce v tomto bodě. Když řešíme problémy tohoto typu, zjistíme, že sklon tečné přímky pomocí derivace, použijte k nalezení sklonu normální čáry a použijte bod z funkce k nalezení normální lineární rovnice.

Krok 1: Sklon tečny

Vše, co zde děláme, je vzít derivaci funkce a vyhodnotit ji # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

To znamená sklon tečné přímky na # x = 7 # je -532.

Krok 2: Sklon normální čáry

Sklon normální čáry je jednoduše opačná inverze sklonu tečné čáry (protože tyto dva jsou kolmé). Tak jsme prostě flip -532 a dělat to pozitivní dostat #1/532# jako sklon normální čáry.

Konečný krok: Hledání rovnice

Normální řádkové rovnice jsou formuláře # y = mx + b #, kde # y # a #X# jsou body na lince, # m # je svah, a # b # je # y #-intercept. Máme svah, # m #, což je to, co jsme našli ve druhém kroku: #1/532#. Body #X# a # y # lze snadno najít nahrazením # x = 7 # do rovnice a řešení # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Nyní můžeme všechny tyto informace použít k nalezení # b #, # y #-intercept:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Můžeme to přiblížit na -2009.013, nebo kdybychom to chtěli, mohli bychom to přiblížit i -2009.

Rovnice normálního řádku je tedy # y = 1 / 532x-2009.013 #.