Jak zjistíte kvadratickou funkci f (x) = ax² + bx + c danou minimální hodnotu -4, když x = 3; jedna nula je 6?

Odpovědět:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Kvadratické funkce jsou symetrické kolem jejich vrcholové linie, tj. Na x = 3 to znamená, že druhá nula bude na x = 0.

Víme, že vrchol se vyskytuje při x = 3, takže první derivace funkce vyhodnocené při x = 3 bude nulová.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Známe také hodnotu samotné funkce při x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Máme dvě rovnice, ale tři neznámé, takže budeme potřebovat další rovnici. Podívejte se na známou nulu:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Nyní máme systém rovnic:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0))

Pro přečtení řešení chceme redukovat naši matici koeficientů na redukovanou formu pomocí elementárních řádkových operací.

Vynásobte první řádek podle #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Přidat #-9# krát první řádek do druhého řádku:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Přidat #-36# krát první řádek do třetí:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Vynásobte druhým řádkem #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Přidat #-2/3# krát třetí řádek do druhého řádku:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Přidat #-1/6# krát druhý až první

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Provedení této série operací do vektoru řešení dává:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Takže čtení řešení, která máme # a = 4/9 a b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

graf {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7,205, 12,795, -5,2, 4,8}