Počet způsobů, kterými může examinátor přidělit 30 bodů na 8 otázek, které jsou nejméně 2 body na jakoukoli otázku, je?

Odpovědět:

#259459200#

Vysvětlení:

Pokud to čtu správně, pak pokud zkoušející může přiřadit známky pouze v násobcích 2. To by znamenalo, že existuje pouze 15 možností z 30 značek.i.e. #30/2 = 15#

Pak máme 15 možností rozložených na 8 otázek.

Použití vzorce pro permutace:

# (n!) / ((n - r)!) #

Kde # n # je počet objektů (v tomto případě značky ve skupinách po 2).

A # r # kolik je najednou (v tomto případě 8 otázek)

Takže máme:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Odpovědět:

Existují # "" _ 21C_14 # (nebo 116,280) způsoby.

Vysvětlení:

Začneme s 30 značkami v "bance", které chceme dát. Vzhledem k tomu, že všechny otázky musí být v hodnotě alespoň 2 bodů, vezmeme # 2 xx 8 = 16 # od značky #30# a rovnoměrně je distribuovat. Každá otázka má nyní 2 (zatím) a "banka" je ponechána #30-16=14# značky.

Nyní musíme jen najít počet způsobů, jak rozdělit zbývajících 14 značek mezi 8 otázek. Zpočátku se to může zdát velmi těžké, ale je tu trik, který ho činí mnohem intuitivnějším.

Na okamžik to zjednodušíme. Co kdybychom měli jen 2 otázky a 14 značek, které by se rozdělily mezi ně? Kolik způsobů bychom to mohli udělat? Značky bychom mohli rozdělit na 14 + 0, nebo 13 + 1, nebo 12 + 2, atd. … nebo 1 + 13, nebo 0 + 14. Jinými slovy, když musíme zavést pouze 1 split (mezi 2 otázkami), máme 15 způsobů, jak to udělat.

To je totéž, jako když se ptám: "Kolik jedinečných způsobů můžeme za sebou zařídit 14 žlutých kuliček (známek) a 1 modrý mramor (otázka splitter)?" Odpověď na toto se nalézá výpočtem množství permutations všech 15 kuliček (který je #15!#), pak dělením počtem způsobů, jak permutovat obě žluté kuličky #(14!)# a modré kuličky #(1!)#, protože v rámci každého uspořádání nezáleží na tom, v jakém pořadí se objevují identické kuličky.

Takže když je 14 žlutých kuliček (značek) a 1 modrý mramor (rozdělovač otázek), existuje

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Zrušit (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 způsobů, jak uspořádat kuličky (rozdělit značky). Poznámka: toto je rovno # "" _ 15C_14 #.

Představme si další modrý mramor - to je druhé rozdělení, nebo třetí otázku, která by znamenala známky. Nyní máme celkem 16 kuliček a chceme vědět, kolik jedinečných způsobů je můžeme zařídit. Podobně jako dříve, bereme #16!# způsoby, jak uspořádat všechny kuličky, pak rozdělit způsoby, jak permutovat oba žluté #(14!)# a modré #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Zrušit (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Existuje tedy 120 způsobů rozdělení 14 značek mezi 3 otázky. To je také rovno # "" _ 16C_14 #.

Teď si můžete všimnout, kam směřujeme. Číslo vlevo od #C# se rovná počtu známek, které rozdělujeme (žluté kuličky) Plus počet splitterů (modré kuličky). Počet rozdělovačů je vždy o jeden menší než počet otázek. Číslo vpravo #C# zůstane počet značek.

Abychom tedy zbývajících 14 značek rozdělili mezi všech 8 otázek (což vyžaduje 7 rozdělovačů), vypočítáme

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (bílá) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (bílá) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Existuje tedy 116 280 způsobů, jak přiřadit 30 známek na 8 otázek, kde každá otázka má alespoň 2 známky.