Co je cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Odpovědět:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Vysvětlení:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Nyní, pomocí #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, dostaneme,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Odpovědět:

Podle součtového úhlu vzorec to je

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 q {3}} / 6 pm 6/13 #

Vysvětlení:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Tyto otázky jsou dostatečně matoucí s funky inverzní funkce notace. Skutečným problémem s takovými otázkami je obecně nejlepší považovat inverzní funkce za vícehodnotové, což může znamenat, že výraz má také více hodnot.

Můžeme se také podívat na hodnotu #X# pro hlavní hodnotu inverzních funkcí, ale nechám to ostatním.

V každém případě je to kosinus součtu dvou úhlů a to znamená, že používáme vzorec součtového úhlu:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Vesmír inverzní kosinus a sinus inverzní sinus je snadný. Cosine inverzní sinus a sinus inverzní kosinus jsou také přímočaré, ale je tam, kde přichází vícehodnotový problém.

Tam budou obecně dva non-coterminal úhly, které sdílejí daný cosine, negations každého jiný, jehož sines bude negations každého jiný. Tam budou obecně dva non-coterminal úhly, které sdílejí daný sinus, doplňkové úhly, který bude mít cosines, které jsou negations každého jiný. Takže obě cesty jsme se s #odpoledne#. Naše rovnice bude mít dvě #odpoledne# a je důležité si uvědomit, že jsou nezávislé, bez spojení.

Pojďme vzít #arcsin (-1/2) # První. Toto je samozřejmě jedno z klišé trig, # -30 ^ circ # nebo # -150 ^ circ #. Kosiny budou # + sqrt {3} / 2 # a # - sqrt {3} / 2 # resp.

Ve skutečnosti nemusíme uvažovat o úhlu. Můžeme přemýšlet o pravém trojúhelníku s protilehlým 1 a hypotéza 2 a přijít s přilehlým # {{}} # a kosinus # {}} {2} / 2 #. Nebo pokud je to příliš mnoho přemýšlení, protože # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # pak #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # # který nám mechanicky umožňuje říci:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Podobně, #5,12,13# je zde Pythagorean Triple

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5} {3}} / 6 pm 6/13 #