Jak najít první derivaci f (x) = 2 sin (3x) + x?

Odpovědět:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Vysvětlení:

Rozlišujte každý termín:

# (d (x)) / dx = 1 #

Pomocí pravidel řetězce pro druhý termín máme:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Společně máme:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Odpovědět:

Žádáme, abychom našli derivaci #f (x) = 2sin (3x) + x # pomocí definice: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Vysvětlení:

Musíme zhodnotit:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

To bude těžkopádné. Aby to vypadalo méně komplikovaně, rozdělme výraz na dvě jednodušší části. Trigonometrickou část a lineární část vezmeme odděleně.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Předpokládám, že můžete ukázat, že druhá hranice je #1#. Čím náročnější limit je limit zahrnující goniometrické funkce.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h # h.

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) # #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Když tedy dáme dva kusy dohromady, dostaneme:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #