Odpovědět:
Viz vysvětlení …
Vysvětlení:
Li # p = q = r # pak:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Takže všechny nuly, které mají, budou společné.
Tyto podmínky nejsou nutné.
Například, pokud # p = 0 #, #q! = 0 # a #r! = 0 # pak:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # má kořen # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # má kořeny # x = -r / q # a # x = 0 #
Takže obě rovnice mají společný kořen, ale #p! = q # a nevyžadujeme # p + q + r = 0 #.
Odpovědět:
Viz níže.
Vysvětlení:
Tak jako # px ^ 2 + qx + r = 0 # a # qx ^ 2 + rx + p = 0 # mají společný kořen, ať je tento kořen # alpha #. Pak
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # a # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
a tudíž # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
a # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # a # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
tj. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
nebo # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
nebo # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
nebo # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # a dělení # p #
nebo # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
tj. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Proto buď # p + q + r = 0 # nebo # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Všimněte si, že # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
a pokud # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, my máme # alfa ^ 2 + alfa + 1 = 0 # tj. # p = q = r #
