Tělo bylo nalezeno v 10 hodin ve skladu, kde byla teplota 40 ° F. Lékař zjistil, že teplota těla je 80 ° F. Jaká byla přibližná doba smrti?

Odpovědět:

Přibližná doba smrti je #8:02:24# dopoledne.

Je důležité si uvědomit, že se jedná o teplotu pokožky těla. Lékař by měřil vnitřní teplotu, která by se snížila mnohem pomaleji.

Vysvětlení:

Newtonův zákon chlazení uvádí, že rychlost změny teploty je úměrná rozdílu k okolní teplotě. Tj

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Li #T> T_0 # pak by tělo mělo vychladnout, takže derivace by měla být záporná, proto vložíme konstantu proporcionality a dorazíme

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Vynásobení závorky a posunutí věcí o nás:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Nyní může použít metodu integračního faktoru řešení ODR.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Vynásobte obě strany podle #I (x) # dostat

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Všimněte si, že pomocí pravidla produktu můžeme přepsat LHS a ponechat:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrujte obě strany do wrt # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Rozdělte # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Průměrná lidská teplota je # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58,6 #

Nechat # t_f # být čas, kdy je tělo nalezeno.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58,6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 hod.

Takže od doby smrti, za předpokladu, že tělo okamžitě začalo vychladnout, trvalo 1,96 hodiny, než dosáhlo 80 ° F, na kterém místě bylo nalezeno.

# 1.96hr = 117.6min #

Přibližná doba smrti je #8:02:24# dopoledne