Co je logaritmus záporného čísla?

Logaritmy záporných čísel nejsou definovány v reálných číslech, stejným způsobem, že v reálných číslech nejsou definovány odmocniny záporných čísel. Pokud se očekává, že najdete záznam záporného čísla, odpověď "nedefinováno" je ve většině případů dostačující.

To je možné vyhodnotit, nicméně odpověď bude složité číslo. (číslo formuláře #a + bi #, kde #i = sqrt (-1) #)

Pokud jste obeznámeni s komplexními čísly a cítíte se dobře s nimi pracovat, přečtěte si dále.

Nejprve začněme obecným případem:

#log_b (-x) =? #

Použijeme pravidlo change-of-base a převedeme se na přirozené logaritmy, abychom to usnadnili později:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Všimněte si, že #ln (-x) # je to samé jako #ln (-1 * x) #. Můžeme využít vlastnosti logaritmů a tuto část oddělit do dvou samostatných protokolů:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Jediným problémem je nyní zjistit, co #ln (-1) # je. Zpočátku to může vypadat jako nemožná věc, ale je tu docela známá rovnice známá jako Eulerova Identita, která nám může pomoci.

Eulerova identita uvádí:

# e ^ (ipi) = -1 #

Tento výsledek pochází z rozšíření výkonových řad sinusové a kosinové. (Nebudu to vysvětlovat příliš podrobně, ale pokud máte zájem, je zde pěkná stránka, která vysvětluje trochu víc)

Prozatím si vezmeme přirozený protokol obou stran Eulerovy identity:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Zjednodušený:

#ipi = ln (-1) #

Takže teď, když víme co #ln (-1) # je, můžeme nahradit v naší rovnici:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Nyní máte vzorec pro nalezení logů záporných čísel. Takže pokud chceme něco takového vyhodnotit # log_2 10 #, můžeme jednoduše připojit několik hodnot:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #