Jaká je vrcholová forma 7y = - 13x ^ 2 -15x + 2?

Odpovědět:

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Vysvětlení:

Za prvé, dostat rovnici do své typické formy dělením obou stran #7#.

# y = -13 / 7x ^ 2-15 / 7x + 2/7 #

Chceme to dostat do vertexové formy:

# y = a (x-h) ^ 2 + k #

Za prvé, faktor #-13/7# z prvních dvou termínů. Všimněte si, že factoring a #-13/7# od termínu je stejný jako násobení termínu podle #-7/13#.

# y = -13 / 7 (x ^ 2 + 15 / 13x) + 2/7 #

Nyní chceme, aby termín v závorkách byl dokonalým čtvercem. Perfektní čtverce jsou ve vzoru # (x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 #.

Tady, střední období # 15 / 13x # je středním termínem dokonalého čtvercového trojzubce, # 2ax #. Pokud chceme zjistit, co #A# je, dělte se # 15 / 13x # podle # 2x # abych to viděl # a = 15/26 #.

To znamená, že chceme přidat chybějící termín do závorek, aby se skupina rovnala # (x + 15/26) ^ 2 #.

# y = -13 / 7vstup ((x ^ 2 + 15 / 13x +?)) ^ ((x + 15/26) ^ 2) + 2/7 #

Chybějící termín na konci dokonalého čtvercového trojúhelníku je # a ^ 2 #a to víme # a = 15/26 #, tak # a ^ 2 = 225/676 #.

Teď přidáme #225/676# v závorkách. Nemůžeme však přidávat čísla do rovnic, které by chtěly. Musíme vyrovnat to, co jsme právě přidali, na stejnou stranu rovnice. (Například pokud jsme přidali #2#, museli bychom dodat #-2# na stejnou stranu rovnice pro čistou změnu #0#).

# y = barva (modrá) (- 13/7) (x ^ 2 + 15 / 13x + barva (modrá) (225/676)) + 2/7 + barva (modrá)?

Všimněte si, že jsme to ještě nepřidali #225/676#. Jelikož je to uvnitř závorek, termín na vnější straně se násobí #225/676# má ve skutečnosti hodnotu

# 225 / 676xx-13/7 = 225 / 52xx-1/7 = -225 / 364 #

Protože jsme vlastně přidali #-225/364#, musíme přidat pozitivní #225/364# na stejnou stranu.

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 2/7 + 225/364 #

Všimněte si, že #2/7=104/364#, tak

#color (červená) (y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Toto je ve formě vrcholu, kde vrchol parabola je u # (h, k) -> (- 15 / 26,329 / 364) #.

Svou práci můžeme zkontrolovat grafováním paraboly:

graf {7y = - 13x ^ 2 -15x + 2 -4,93, 4,934, -2,466, 2,466}

Všimněte si, že #-15/26=-0.577# a #329/364=0.904#, což jsou hodnoty získané kliknutím na vrchol.