Odpovědět:
Křivka průsečíku může být parametrizována jako # (z, r) = ((81/2) sin2 heta, 9) #.
Vysvětlení:
Nejsem si jistý, co máte na mysli vektorovou funkcí. Ale chápu, že se snažíte reprezentovat křivku průniku mezi oběma povrchy v dotazu.
Protože válec je symetrický kolem # z # může být snazší vyjádřit křivku ve válcových souřadnicích.
Změna na válcové souřadnice:
#x = r cos t
#y = r sin t
#z = z #.
# r # je vzdálenost od # z # osa a # # # je úhel proti směru hodinových ručiček od #X# osa v # x, y # letadlo.
Poté se stane první povrch
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, kvůli Pythagorean trigonometrické identitě.
Druhý povrch se stává
#z = xy #
#z = rcos heta rsin t
# z = r ^ 2sin heta # #.
Z rovnice prvního povrchu jsme se dověděli, že křižující se křivka musí být v kvadratické vzdálenosti # r ^ 2 = 81 # od prvního povrchu, který to dává
#z = 81 sin heta cos, #z = (81/2) sin2 t, křivka parametrizovaná # # #. Posledním krokem je goniometrická identita a provádí se jen z osobních preferencí.
Z tohoto výrazu vidíme, že křivka je skutečně křivka, protože má jeden stupeň volnosti.
Celkově můžeme křivku napsat jako
# (z, r) = ((81/2) sin2 heta, 9) #, což je vektorová funkce jedné proměnné # # #.
Odpovědět:
Viz. níže.
Vysvětlení:
Vzhledem k průsečíku
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z v RR):} #
s
# C_2-> z = x y #
nebo # C_1 nn C_2 #
my máme
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
nyní řeší # x ^ 2, y ^ 2 # získáme parametrické křivky
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # nebo
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #
které jsou skutečné
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Připojen graf zobrazující křivku průsečíku červeně (jeden list).
