Ukážte, že pokud p, q, r, s jsou reálné číslo a pr = 2 (q + s), pak alespoň jedna z rovnic x ^ 2 + px + q = 0 a x ^ 2 + rx + s = 0 má skutečné kořeny?

Odpovědět:

Viz níže.

Diskriminační # x ^ 2 + px + q = 0 # je # Delta_1 = p ^ 2-4q #

a to # x ^ 2 + rx + s = 0 # je # Delta_2 = r ^ 2-4s #

a # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # p ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

a pokud # pr = 2 (q + s) #, my máme # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Vzhledem k tomu, že součet těchto dvou

alespoň jeden z nich by byl pozitivní

a tedy alespoň jednu z rovnic # x ^ 2 + px + q = 0 # a # x ^ 2 + rx + s = 0 # má skutečné kořeny.