Vkládáte 200 USD na spořící účet. Každý rok poté plánujete vložit o 15% více než v předchozím roce. O kolik peněz budete mít uloženo po 20 letech?

Odpovědět:

# $ color (white) (l) 20488.72 #

Vysvětlení:

Každoročně započítává vklad dotyčné osoby

• # $ color (white) (l) 200 # Zaprvé # 1 "st" # rok,
• # (1 + 15%) xx $ barva (bílá) (l) 200 # ve druhém # 2 "nd" # rok,
• # (1 + 15%) ^ 2 xx $ barva (bílá) (l) 200 # ve třetím # 3 "rd" # rok,
• #cdot cdot cdot #
• # (1 + 15%) ^ 19 xx $ barva (bílá) (l) 200 # ve dvacátém # 20 "th" # rok,

tvoří geometrickou posloupnost.

Obecný vzorec udává součet prvního #n "th" # podmínky geometrického sledu společného poměru # r # a první termín # a_1 #

#sum_ (i = 1) ^ (n) r ^ (i-1) xx a_1 = a_1 xx (1-r ^ n) / (1-r) #

Geometrická posloupnost v této otázce má

#r = 1 + 15% = 1,15 #

jako jeho společný poměr a. t

# a_1 = $ color (bílá) (l) 200 #

jako první termín, který se rovná vkladu v prvním roce.

Otázka se ptá na součet prvních dvacátých termínů této posloupnosti, což naznačuje # n = 20 #; střídání # n #, # r #, a # a_1 # jejich hodnot a vyhodnocení součtu

#sum_ (i = 1) ^ (20) 1.15 ^ (i-1) xx $ barva (bílá) (l) 200 = $ barva (bílá) (l) 200 xx (1-1.15 ^ 20) / (1- 1.15) = $ color (bílá) (l) 20488.72 #

(zaokrouhleno na dvě desetinná místa)

Osoba by proto uložila # $ color (white) (l) 20488.72 # celkem za dvacet let.