Jaký je vrchol y = x ^ 2 -9 - 8x?

Odpovědět:

Vrchol je #(4,-25)#.

Vysvětlení:

Nejprve umístěte rovnici do standardního formuláře.

# y = x ^ 2-8x-9 #

Toto je kvadratická rovnice ve standardním tvaru, # ax ^ 2 + bx + c #, kde # a = 1, b = -8, c = -9 #.

Vrchol je maximální nebo minimální bod paraboly. V tomto případě, protože #a> 0 #, parabola se otevírá nahoru a vrchol je minimální bod.

Chcete-li najít vrchol paraboly ve standardní podobě, nejprve vyhledejte osu symetrie, která nám dá #X#. Osa symetrie je imaginární čára, která rozděluje parabolu na dvě stejné poloviny. Jednou máme #X#, můžeme ji nahradit rovnicí a řešit # y #, dává nám to # y # hodnota pro vrchol.

Osa symetrie

#x = (- b) / (2a) #

Nahraďte hodnoty pro #A# a # b # do rovnice.

#x = (- (- 8)) / (2 * 1) #

Zjednodušit.

# x = 8/2 #

# x = 4 #

Určete hodnotu pro # y #.

Nahradit #4# pro #X# do rovnice.

# y = 4 ^ 2- (8 * 4) -9 #

Zjednodušit.

# y = 16-32-9 #

Zjednodušit.

# y = -25 #

Vertex = # (x, y) #=#(4,-25)#.

graf {y = x ^ 2-8x-9 -10,21, 7,01, -26,63, -18,02}

Odpovědět:

#(4, -25)#

Vysvětlení:

Dostali jsme # y = x ^ 2-9-8x #.

Nejdřív chci, aby se to dostalo do standardní podoby # ax ^ 2 + bx + c # formulář.

Teď máme # x ^ 2-8x-9 #. Nejjednodušší způsob, jak dostat standardní formulář do vertexové formy, je vyplnění čtverce. Proces dokončení náměstí dělá # x ^ 2-8x + (prázdné) # dokonalé náměstí. Musíme jen najít hodnotu, která to dokončí. Nejdřív vezmeme střední termín, # -8x #a rozdělte ji 2 (tak #-8/2#, který je #-4#). Pak odpovíme, #(-4)^2#, který je #16#.

Nyní se připojíme #16# do rovnice, aby se dokonalé náměstí, že jo?

Podívejme se na to: # x ^ 2-8x + 16-9 = y #. Podívej se znovu. Nemůžeme jen přidat náhodné číslo na jednu stranu rovnice a nepřidávat ho na druhou stranu. Co děláme na jedné straně, musíme udělat to druhé. Takže teď máme # x ^ 2-8x + 16-9 = y + 16 #.

Poté, co jsme tuto práci udělali, udělejme to # x ^ 2-8x + 16 # do dokonalého náměstí, které vypadá takto # (x-4) ^ 2 #. Nahradit # x ^ 2-8x + 16 # a máme # (x-4) ^ 2-9 = y + 16 #. Teď o tobě nevím, ale ráda jsem měla # y # izolovaný, takže si to vezmeme sami odečtením #16# na obou stranách.

Teď máme # (x-4) ^ 2-9-16 = y #, které můžeme zjednodušit # (x-4) ^ 2-25 = y #.

Teď je to ve formě vertexu, a jakmile máme, je velmi rychlé najít vrchol. Toto je forma vrcholu,#y = a (x - barva (červená) (h)) ^ 2 barva (modrá) (+ k) #a vrchol z toho je # (barva (červená) (h, barva (modrá) (k))) #.

V případě naší rovnice máme # y = (x-barva (červená) (4)) ^ 2 barvy (modrá) (- 25) #, nebo # (barva (červená) (4), barva (modrá) (- 25)) #.

POZNÁMKA že # (barva (červená) (h), k) # je opak toho, co bylo v rovnici!

příklad: # y = (x + 3) ^ 2 + 3 #, vrchol je # (barva (červená) (-) 3,3) #.

Vrchol je tedy #(4, -25)#, a my to můžeme zkontrolovat grafováním rovnice a nalezením vrcholu, který je nejvyšším nebo nejnižším bodem na parabole.

graf {x ^ 2-8x-9}

Vypadá to, že jsme to měli správně! Dobrá práce!