Jaký je rozptyl standardního normálního rozdělení?

Odpovědět:

Viz. níže. Normální je normální nastavení #mu, sigma = 0,1 # proto známe výsledky předem.

Vysvětlení:

Normální formát PDF je: #mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) #

Má střední hodnotu:

# mu = int _ (- oo) ^ (oo) dz zbbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (- e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) _ (oo) ^ (- oo) = 0 #

Z toho vyplývá, že:

# Var (z) = int _ (- oo) ^ (oo) dz (z - mu) ^ 2 mathbb P (z) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d ^ 2 e ^ (- z ^ 2/2) #

Tentokrát použijte IBP:

# Var (z) = - 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (e ^ (- z ^ 2/2))

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- z) ^ (oo) dz t ^ 2/2)) #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- z) ^ (oo) dz t ^ 2/2)) #

Protože # z e ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) = 0 #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2) #

Tento integrál je dobře znám. To lze provést pomocí polární sub, ale zde je uveden výsledek.

# Var (z) = 1 / sqrt (2 pi) sqrt (2 pi) = 1 #