Jak řešíte nerovnost 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Odpovědět:

#x <- 5/2 barva (bílá) (xx) # nebo #color (bílá) (xx) -1 <x <2 #

Vysvětlení:

Za prvé, všimněte si, že vaše nerovnost je definována pouze tehdy, pokud vaše jmenovatele nejsou rovny nule:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Dalším krokem by bylo "zbavit se" zlomků. To lze provést, pokud násobíte obě strany nerovnosti # x + 1 # a # x-2 #.

Musíte však být opatrní, protože pokud vynásobíte nerovnost záporným číslem, musíte překlopit znak nerovnosti.

=========================================

Uvažujme o různých případech:

případ 1: #color (bílá) (xxx) x> 2 #:

Oba #x + 1> 0 # a #x - 2> 0 # držet. Získáte tedy:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… spočítat # -3x # a #+2# na obou stranách…

# -2x> 5 #

… dělí #-2# na obou stranách. Tak jako #-2# je záporné číslo, musíte překlopit znak nerovnosti …

#x <- 5/2 #

Neexistuje však #X# který splňuje obě podmínky #x> 2 # a #x <- 5/2 #. V tomto případě tedy neexistuje žádné řešení.

=========================================

případ 2: #color (bílá) (xxx) -1 <x <2 #:

Tady, #x + 1> 0 # ale #x - 2 <0 #. Musíte tedy jednou překlopit znak nerovnosti a dostanete:

#color (bílá) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (bílá) (x) -2x <5 #

… dělí #-2# a znovu překlopte znak nerovnosti …

#color (bílá) (xxx) x> -5 / 2 #

Nerovnost #x> -5 / 2 # platí pro všechny #X# v intervalu # -1 <x <2 #. V tomto případě tedy máme řešení # -1 <x <2 #.

=========================================

případ 3: #color (bílá) (xxx) x <-1 #:

Oba jmenovatelé jsou negativní. Pokud tedy vynásobíte nerovnost s oběma z nich, musíte dvakrát překlopit znak nerovnosti a dostanete:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (bílá) (i) -2x> 5 #

#color (bílá) (xxi) x <- 5/2 #

Jako podmínka #x <-5 / 2 # je přísnější než podmínka #x <-1 #, řešení pro tento případ je #x <- 5/2 #.

=========================================

Řešení je celkem

#x <- 5/2 barva (bílá) (xx) # nebo #color (bílá) (xx) -1 <x <2 #

nebo, pokud dáváte přednost jiné notaci,

#x in (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Odpovědět:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Vysvětlení:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

nechte projít everithing na levou stranu nerovnosti odečtením # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Teď musíme, dát všechny nerovnosti jsme stejným jmenovatelem. Část s (x + 1) násobíme # (x-2) / (x-2) # (což je 1!) a naopak:

# (x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Dříve jsme udělali trik, abychom měli všechny nesrovnalosti se stejným jmenovatelem:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # odpovídá parabole, která dává kladné hodnoty v ineterválu # -oo, -1 uu 2, + oo # a záporné hodnoty v intervalu #-1, 2#. Nezapomeňte, že x nemůže být -1 nebo 2 kvůli nulovému jmenovateli.

V prvním případě (pozitivní jmenovatel) můžeme zjednodušit nerovnost na:

# -2x-5> 0 # a #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

který dává:

#x <-5 / 2 # a #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Zachycení intervalů výše dává #x <-5 / 2 #.

Ve druhém případě je jmenovatel záporný, takže pro výsledek s kladným číslem musí být čitatel záporný:

# -2x-5 <0 # a # x in -1, 2 #

který dává

#x> -5 / 2 #. a # x in -1, 2 #

Zachycení intervalů dává # x in -1, 2 #

Spojením řešení obou případů získáme:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #