Jak dokázat hřích (theta + phi) / cos (theta-phi) = (tantheta + tanphi) / (1 + tanthetatanphi)?

Odpovědět:

Viz níže uvedený důkaz

Vysvětlení:

Potřebujeme

#sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa #

#cos (a-b) = cosacosb + sinasinb #

Proto, # LHS = sin (theta + phi) / cos (theta-phi) #

# = (sinthetacosphi + costhetasinphi) / (costhetacosphi + sinthetasinphi) #

Rozdělení podle všech termínů podle# costhetacosphi #

# = ((sinthetacosphi) / (costhetacosphi) + (costhetasinphi) / (costhetacosphi) / ((costhetacosphi) / (costhetacosphi) + (sinthetasinphi) / (costhetacosphi)) #

# = (sintheta / costheta + sinphi / cosphi) / (1 + sintheta / costheta * sinphi / cosphi) #

# = (tantheta + tanphi) / (1 + tanthetatanphi) #

# = RHS #

# QED #

Odpovědět:

Viz Vysvětlení

Vysvětlení:

Nechat

# y = sin (theta + phi) / cos (theta-phi) #

# y = (sinthetacosphi + costhetasinphi) / (costhetacosphi + sinthetasinphi) #

Dělení podle #cos theta #, # y = (tanthetacosphi + sinphi) / (cosphi + tanthetasinphi) #

Dělení podle # cosphi #, # y = (tantheta + tanphi) / (1 + tanthetatanphi) #

proto se ukázalo.

Odpovědět:

# "zobrazit vysvětlení" #

Vysvětlení:

# "pomocí" barvy (modré) "goniometrické identity" #

# • barva (bílá) (x) sin (x + y) = sinxcosy + cosxsiny #

# • barva (bílá) (x) cos (x-y) = cosxcosy + sinxsiny #

# "zvážit levou stranu" #

# = (sinthetacosphi + costhetasinphi) / (costhetacosphi + sinthetasinphi) #

# "rozdělit termíny na čitatele / jmenovatele podle" costhetacosphi #

# "a zrušit běžné faktory" #

# = ((sinthetacosphi) / (costhetacosphi) + (costhetasinphi) / (costhetacosphi) / ((costhetacosphi) / (costhetacosphi) + (sinthetasinphi) / (costhetacosphi) = ((sintheta) / costhetacosphi) / (1 + sintheta / costhetaxxsinphi / cosphi #

# = (tantheta + tanphi) / (1 + tanthetatanphi) #

# = "pravá strana" rArr "ověřeno" #

Ukažte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jsem trochu zmatený, když udělám Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný jako cos (180 ° -theta) = - costheta in druhý kvadrant. Jak mám doložit otázku?

Viz níže. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

"Lena má 2 po sobě jdoucí celá čísla."Všimne si, že jejich součet se rovná rozdílu mezi jejich čtverci. Lena vybírá další 2 po sobě jdoucí celá čísla a všimne si totéž. Prokázat algebraicky, že to platí pro všechny 2 po sobě jdoucí celá čísla?

Laskavě se podívejte na Vysvětlení. Připomeňme, že po sobě jdoucí celá čísla se liší o 1. Proto, pokud m je jedno celé číslo, pak musí být následující celé číslo n + 1. Součet těchto dvou celých čísel je n + (n + 1) = 2n + 1. Rozdíl mezi jejich čtverci je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, podle potřeby! Cítit radost z matematiky!

Ukažte, že (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Viz níže. Nechť 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), zde r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) a tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) nebo alfa = theta / 2 pak 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alfa)) = r (cosalpha-isinalpha) a můžeme psát (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n pomocí DE MOivreova věta jako r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ nc