Jak použít první derivační test k určení lokálního extrému y = sin x cos x?

Odpovědět:

Extrémní pro # y = sin (x) cos (x) # jsou

# x = pi / 4 + npi / 2 #

s # n # relativní celé číslo

Vysvětlení:

Být #f (x) # funkce představující změnu # y # s opakováním #X#.

Být #f '(x) # derivát #f (x) #.

#f '(a) # je svah #f (x) # křivka na # x = a # bod.

Když je sklon kladný, křivka se zvyšuje.

Když je sklon záporný, křivka se snižuje.

Když je sklon nulový, křivka zůstává na stejné hodnotě.

Když křivka dosáhne extrému, přestane se zvyšovat / snižovat a začne klesat / zvyšovat. Jinými slovy, sklon se bude pohybovat od kladné k záporné - nebo záporné k pozitivnímu procházející nulovou hodnotou.

Pokud tedy hledáte extrémy funkce, měli byste hledat hodnoty nulových hodnot derivace.

N.B. Existuje situace, kdy derivace je nulová, ale křivka nedosahuje extrému: nazývá se inflexní bod. Křivka se na okamžik zastaví a klesá a pak pokračuje ve zvyšování / snižování. Měli byste také zkontrolovat, zda se znak svahu mění kolem hodnoty null.

Příklad: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Teď, když máme vzorec #f '(x) #, budeme hledat jeho hodnoty null:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Řešení jsou # pi / 4 + npi / 2 # s # n # relativní celé číslo.

Odpovědět:

I když plánujeme použít první derivátový test, stojí za to si ho všimnout #y = 1/2 sin (2x) #.

Vysvětlení:

Když jsme provedli toto pozorování, ve skutečnosti nepotřebujeme počet k nalezení extrému.

Můžeme se spolehnout na naše znalosti trigonometrie a grafů sinusových funkcí

Maximální hodnota (1/2) nastane, když # 2x = pi / 2 + 2pik # nebo kdy #x = pi / 4 + pik # pro # k # celé číslo.

Minimum nastává na #x = 3pi / 4 + pik # pro # k # celé číslo.

Můžeme použít derivaci, ale ve skutečnosti ji nepotřebujeme.

Použití derivace

Po přepsání # y #, můžeme to rychle vidět #y '= cos (2x) #

Takže kritická čísla pro # y # jsou # 2x = pi / 2 + 2pik # a # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (když je kosinus #0#) nebo

# x = pi / 4 + pik # a # x = (3pi) / 4 + pik #

Kontrola označení #y '= cos (2x) #, zjistíme maximální hodnoty na první sadě kritických čísel a minimálních hodnot na druhém.