DeMoivreova věta rozšiřuje Eulerův vzorec:
# e ^ (ix) = cosx + isinx #
Věta DeMoivre říká, že:
- # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
- # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
- # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
- #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #
Příklad:
#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #
# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #
Nicméně, # i ^ 2 = -1 #
# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #
Řešení reálných a imaginárních částí #X#:
# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #
Porovnání s #cos (2x) + isin (2x) #
#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #
#sin (2x) = 2sinxcosx #
Toto jsou vzorce dvojitého úhlu pro # cos # a #hřích#
To nám umožňuje expandovat #cos (nx) # nebo #sin (nx) # z hlediska pravomocí # sinx # a # cosx #
DeMoivreův teorém může být vzat dále:
Dáno # z = cosx + isinx #
# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #
#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #
#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #
# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #
# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #
Takže, pokud chcete vyjádřit # sin ^ nx # z hlediska více úhlů # sinx # a # cosx #:
# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #
Rozbalte a jednoduše zadejte vstupní hodnoty pro # z ^ n + z ^ (- n) # a # z ^ n-z ^ (- n) # tam, kde je to zapotřebí.
Pokud se to však týká # cos ^ nx #, pak bys to udělal # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # a postupujte podle podobných kroků.
