Prokázat sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Odpovědět:

Ve Vysvětlení

Vysvětlení:

Na normální souřadné rovině máme souřadnice (1,2) a (3,4) a podobné věci. Tyto souřadnice můžeme reexpress n n radiusů a úhlů. Pokud tedy máme bod (a, b), znamená to, že jdeme jednotky vpravo, jednotky B nahoru a #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # jako vzdálenost mezi počátkem a bodem (a, b). zavolám #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Takže máme # re ^ arctan (b / a) #

Abychom dokončili tento důkaz, vzpomeňme si na vzorec.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Funkce obloukového opálení mi dává úhel, který je také theta.

Máme tedy následující rovnici:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Nyní můžete nakreslit pravý trojúhelník.

Arctan (b / a) mi říká, že b je opačná strana a a je sousední strana. Takže pokud chci cos z arctanu (b / a), použijeme Pythagorovu teorém k nalezení hypotézy. Předpona je #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Takže cos (arctan (b / a)) = přilehlý přes hypotézu = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nejlepší na tom je skutečnost, že tato zásada platí i pro sinus. Takže hřích (arctan (b / a)) = naproti hypotéze = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Takže nyní můžeme tuto odpověď znovu vyjádřit takto: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Ale pamatuj #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # takže teď máme: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. R je zrušeno a máte následující možnosti: # a + bi #

Proto, # (re ^ ((arctan (b / a))) = a + bi #