Jaká je nejjednodušší radikální forma sqrt115?

Odpovědět:

Neexistuje jednodušší forma

Vysvětlení:

S radikály se pokusíte faktorizovat argument a zjistit, zda existují nějaké čtverce, které mohou být „vyňaty z kořene“.

Příklad: # sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

V tomto případě žádné takové štěstí:

# sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Odpovědět:

#sqrt (115) # je již v nejjednodušší podobě.

Vysvětlení:

Primární faktorizace #115# je:

#115 = 5*23#

Protože neexistují žádné čtvercové faktory, není možné zjednodušit druhou odmocninu. Je možné jej vyjádřit jako produkt, ale to se nepočítá jako jednodušší:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#barva bílá)()#

Bonus

Společně s jakoukoliv iracionální odmocninou racionálního čísla, #sqrt (115) # má opakovanou expanzi zlomku:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Předčasné prodloužení frakce můžete zkrátit, abyste získali racionální aproximace pro #sqrt (115) #.

Například:

#sqrt (115) ~ ~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Ve skutečnosti, zkrácením těsně před koncem opakující se části pokračujícího zlomku, jsme našli nejjednodušší racionální aproximaci pro #sqrt (115) # který splňuje Pellovu rovnici.

To je:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

lišit pouze #1#.

To dělá # 1126/105 ~ ~ 10.7bar (238095) # účinnou aproximaci pro #sqrt (115) ~ ~ 10.7238052947636 #