Odpovědět:
# V = 16 / 15pi ~ ~ 3.35103 #
Vysvětlení:
Oblast je řešením tohoto systému:
# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
Na tomto grafu je načrtnuta:
Vzorec pro objem rotace pevné osy x je:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Abychom aplikovali vzorec, měli bychom přeložit půlměsíc na ose x, oblast se nezmění a tak se nezmění ani objem:
# y = -x ^ 2 + 2x + 3barevný (červený) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# y = 3color (červená) (- 3) = 0 #
Tímto způsobem získáme #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.
Přeložená oblast je nyní vykreslena zde:
Ale které jsou a a b integrálu? Řešení systému:
# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #
Tak # a = 0 a b = 2 #.
Pojďme přepsat a vyřešit integrál:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) # 3 # #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~ ~ 3.35103 #
A tento "citron" je získaná pevná látka:
