Jaká je multiplicita reálného kořene rovnice, která se kříží / dotýká osy x jednou?

Odpovědět:

Několik pozorování …

Vysvětlení:

Všimněte si, že #f (x) = x ^ 3 # má vlastnosti:

• #f (x) # je stupně #3#

• Jediná skutečná hodnota #X# pro který #f (x) = 0 # je # x = 0 #

Tyto dvě vlastnosti samy o sobě nepostačují k tomu, aby bylo možné určit, že nulová hodnota je na hodnotě # x = 0 # je multiplicity #3#.

Zvažte například:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Všimněte si, že:

• #g (x) # je stupně #3#

• Jediná skutečná hodnota #X# pro který #g (x) = 0 # je # x = 0 #

Ale násobnost nuly #g (x) # v # x = 0 # je #1#.

Některé věci můžeme říci:

• Polynomiální stupeň #n> 0 # má přesně # n # komplexní (možná reálné) nuly počítání multiplicity. Toto je důsledek základní věty algebry.

• #f (x) = 0 # pouze když # x = 0 #, ale má stupeň #3#, ano #3# nula počítání multiplicity.

• Proto nula na # x = 0 # musí být mnohostranné #3#.

Proč to není pravda #g (x) #?

Je toho stupně #3#, tak má tři nuly, ale dva z nich jsou nereálné komplexní nuly, jméno # + - i #.

Dalším způsobem, jak se na to dívat, je pozorovat # x = a # je nula #f (x) # pokud a pouze tehdy # (x-a) # je faktor.

Shledáváme:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

To je: # x = 0 # je nula #3# krát.