Odpovědět:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k nebo x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # pro celé číslo # k.
Vysvětlení:
Pracovala jsem to na dvou různých způsobech, ale myslím, že tento třetí způsob je nejlepší. Existuje několik vzorců dvojitého úhlu pro kosinus. Nenechte se pokoušet žádným z nich. Vyhýbejme se rovnicím.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Lineární kombinace kosinu a sinus je fázově posunutý kosinus.
Nechat # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # a
# theta = text {Arc} text {tan} (2/1) #
Ukázal jsem hlavní inverzní tečnu, tady v prvním kvadrantu, kolem # theta = 63,4 ^ circ #. Jsme si jisti
#r cos theta = sq {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sq {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Můžeme tedy přepsat naši rovnici
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Vždy pamatujte na obecné řešení #cos x = cos a # je # x = + 360 ^ circ k quad # pro celé číslo # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Postupné přijímání známek, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k nebo x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # je konstanta, kterou se můžeme pokusit získat lepší výraz pro:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Víme # phi # je ve druhém kvadrantu, ne v obvyklém rozsahu hlavní hodnoty.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
To není důležité, protože přidáváme # 180 ^ circ k # na # phi # v obecném řešení. Všechno dohromady, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k nebo x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Nemusíme být pečliví o hlavní hodnotě arctanu; protože přidáváme # 180 ^ circ k # jakákoliv hodnota. Mohli bychom napsat první # x = arctan (-3) # s # 180 ^ circ k # implikováno, ale nechejme to tady.
