Jaké jsou důsledky invertibility matice?

Odpovědět:

Viz hrubý obrys níže.

Vysvětlení:

Pokud je nxn matice invertovatelná, pak je výsledkem velkého obrazu to, že její sloupcové a řádkové vektory jsou lineárně nezávislé.

Je také (vždy) pravdivé říci, že pokud je nxn matice invertovatelná:

• (1) jeho determinant je nenulový,

• (2) #mathbf x = mathbf 0 # je jediným řešením #A mathbf x = mathbf 0 #,

• (3) #mathbf x = A ^ (- 1) mathbf b # je jediným řešením #A mathbf x = mathbf b #, a

• (4) jeho vlastní hodnoty jsou nenulové.

Singulární (neinvertibilní) matice má konečně jednu nulovou vlastní hodnotu. Neexistuje však žádná záruka, že invertibilní matrice může být diagonalizována nebo naopak.

Diagonalizace se stane pouze tehdy, když matice vydá celou sadu vlastních vektorů (které se mohou vyskytnout tam, kde je vlastní hodnota nulová).