Rovnice x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 má jeden pozitivní kořen. Ověřte výpočtem, že tento kořen leží mezi 1 a 2.Může někdo tuto otázku vyřešit?

A vykořenit rovnice je hodnota pro proměnnou (v tomto případě #X#), což činí rovnici pravdivou. Jinými slovy, kdybychom měli vyřešit #X#, pak by vyřešená hodnota (y) byla kořeny.

Obvykle, když mluvíme o kořenech, je to s funkcí #X#, jako # y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #a nalezení kořenů znamená řešení #X# když # y # je 0.

Pokud má tato funkce kořen mezi 1 a 2, pak na některých #X#-hodnota mezi # x = 1 # a # x = 2 #, rovnice bude rovna 0. Což také znamená, že v určitém bodě na jedné straně tohoto kořene je rovnice pozitivní a v určitém bodě na druhé straně je negativní.

Protože se snažíme ukázat, že je mezi 1 a 2 kořen, pokud můžeme ukázat, že rovnice přepíná mezi těmito dvěma hodnotami, uděláme to.

Co je # y # když # x = 1 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (bílá) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#color (bílá) y = 1-3 + 1-4 #

#color (bílá) y = –5 #

#color (bílá) y <0 #

Co je # y # když # x = 2 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (bílá) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#color (bílá) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#color (bílá) y = 32-24 #

#color (bílá) y = 8 #

#color (bílá) y> 0 #

Ukázali jsme to # y # je negativní, když # x = 1 #, a # y # je pozitivní, když # x = 2 #. Takže v určitém bodě mezi 1 a 2, tam musí hodnotu pro #X# který dělá # y # rovna 0.

Právě jsme použili Věta o střední hodnotě nebo (IVT). Pokud si nejste jisti, co to je, rychlý popis je, že pokud je spojitá funkce menší než #C# když # x = a # a je větší než #C# když # x = b #, pak v určitém bodě mezi #A# a # b #, funkce musí být stejná #C.#

Poznámka:

IVT je použitelná pouze pro spojité funkce (nebo funkce, které jsou spojité na sledovaném intervalu). Naštěstí všechny polynomy v #X# jsou všude spojité, proto zde můžeme využít IVT.