Co je int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Odpovědět:

#= 1/4#

Vysvětlení:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Odpovědět:

#1/4#

Vysvětlení:

Může to udělat mnoha způsoby, zde jsou dvě. První je použít substituci:

#color (červená) ("Metoda 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Nechat #u = ln (x) implikuje du = (dx) / x #

Transformace limitů:

#u = ln (x) znamená u: 0 rarr 1 #

Integrální se stává:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

To je jednodušší způsob, ale nemusíte být vždy schopni provést substituci. Alternativou je integrace částí.

#color (červená) ("Metoda 2") #

Použít integraci podle částí:

Pro funkce #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) znamená u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) znamená v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Seskupení podobných výrazů:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Pracujeme s určitým integrálem, takže aplikujeme limity a odstraňujeme konstantu:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #