Co je doména a rozsah f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Odpovědět:

Doména je # RR # (všechna reálná čísla) a rozsah je # 5-sqrt (61) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(všechna reálná čísla mezi a včetně) # (5-sqrt (61)) / 72 # a # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Vysvětlení:

V doméně začínáme se všemi reálnými čísly a pak odstraníme všechny, které by nás nutily mít druhou odmocninu záporného čísla nebo #0# ve jmenovateli zlomku.

Na první pohled víme, že # x ^ 2> = 0 # pro všechna reálná čísla, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Jmenovatel tedy nebude #0# pro jakékoli reálné číslo #X#, což znamená, že doména obsahuje každé reálné číslo.

Pro rozsah, nejjednodušší způsob, jak najít výše uvedené hodnoty zahrnuje některé základní kalkul. Ačkoliv je delší, je možné je také najít pouze pomocí algebry, s níže popsanou metodou.

Počínaje funkcí #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # chceme najít všechny možné hodnoty #f (x) #. To je ekvivalentní nalezení domény inverzní funkce # f ^ -1 (x) # (funkce s majetkem # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Bohužel, naopak #f (x) # v tomto případě se nejedná o funkci, protože vrací 2 hodnoty, ale myšlenka je stále stejná. Začneme rovnicí #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # a řešit #X# najít inverzní. Dále se podíváme na možné hodnoty # y # najít doménu inverzní, a tedy rozsah původní funkce.

Řešení pro #X#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Ošetření # y # jako konstanta aplikujeme kvadratický vzorec

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

získat

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Nyní musíme najít doménu výše uvedeného výrazu (všimněte si, že to není funkce kvůli #+-#). Všimněte si, že dělením # y # v kvadratickém vzorci jsme ztratili možnost # y = 0 #, což je jasně možné v původní rovnici (pro #x = -5 #). Tak budeme ignorovat # y # ve jmenovateli inverzní, a zaměřit se pouze na druhou odmocninu.

Jak již bylo zmíněno, nedovolujeme druhou odmocninu hodnoty menší než 0, a tak máme omezení

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Pomocí kvadratického vzorce # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # po určitém zjednodušení zjistíme, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Konečně můžeme říci, že # | y | # roste, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # bude menší než #0#. Zvažujeme tedy pouze interval mezi

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # a #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Povolené hodnoty pro # y #, a tedy i rozsah #f (x) #, je

# 5-sqrt (61) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

Nechť je doména f (x) [-2,3] a rozsah [0,6]. Co je doména a rozsah f (-x)?

Doména je interval [-3, 2]. Rozsah je interval [0, 6]. Přesně jako je to není funkce, protože její doména je jen číslo -2,3, zatímco její rozsah je interval. Ale za předpokladu, že je to jen překlep a skutečná doména je interval [-2, 3], je to následovně: Nechť g (x) = f (-x). Protože f vyžaduje, aby jeho nezávislá proměnná brala hodnoty pouze v intervalu [-2, 3], -x (záporné x) musí být v rozsahu [-3, 2], což je doména g. Protože g získává svou hodnotu prostřednictvím funkce f, její rozsah zůstává s

Jestliže funkce f (x) má doménu -2 <= x <= 8 a rozsah -4 <= y <= 6 a funkce g (x) je definována vzorcem g (x) = 5f ( 2x)) pak co je doména a rozsah g?

Níže. K nalezení nové domény a rozsahu použijte základní transformace funkcí. 5f (x) znamená, že funkce je vertikálně roztažena o faktor pět. Proto bude nový rozsah překlenout interval, který je pětkrát větší než originál. V případě f (2x) se na funkci aplikuje horizontální roztažení o faktor poloviny. Proto jsou konce domény na polovinu. Et voilà!

Jestliže f (x) = 3x ^ 2 a g (x) = (x-9) / (x + 1), a x! = - 1, pak co by f (g (x)) se rovnal? g (f (x))? f ^ -1 (x)? Jaká by byla doména, rozsah a nuly pro f (x)? Jaká by byla doména, rozsah a nuly pro g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x v RR}, R_f = {f (x) v RR; f (x)> = 0} D_g = {x v RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) v RR; g (x)! = 1}