Vyřešte e ^ x-lnx <= e / x?

Odpovědět:

takže řešení této nerovnosti je pravdivé #x in (0.1 #

Vysvětlení:

zvážit #f (x) = e ^ x-lnx-e / x #,my máme

#f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 #

tvrdí, že #f '(x)> 0 # pro všechny skutečné x a uzavřít, že #f (1) = 0 #

#f (1) = e-ln1-e = 0 #

považujeme limit f za x

#lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x #

#lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo #

Jinými slovy, ukázáním #f '(x)> 0 # ukážete, že funkce se přísně zvyšuje, a pokud #f (1) = 0 # to znamená, že #f (x) <0 #

pro #x <1 # protože funkce vždy roste.

z definice # lnx #

# lnx # je definován pro každý #x> 0 #

z definice # e ^ x #

# e ^ x # je definován pro každý #x> = 0 #

ale # e / x = e / 0 # undefined

takže řešení této nerovnosti je pravdivé #x in (0.1 #