Jaká je derivace y = (sinx) ^ x?

Odpovědět:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Vysvětlení:

Použijte logaritmickou diferenciaci.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Použít vlastnosti # ln #)

Implicitně rozlišovat: (Použijte pravidlo produktu a řetězec ruel)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Takže máme:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Vyřešit pro # dy / dx # vynásobením #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Odpovědět:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Vysvětlení:

Nejjednodušší způsob, jak to zjistit, je použít:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x) = e ^ (xln (sinx)) #

Převzetí derivace dává:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Musíme si to všimnout, pokud # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # je nedefinováno.

Když však analyzujeme chování funkce kolem #X#pro které toto platí, zjistíme, že funkce se chová dostatečně dobře, aby mohla fungovat, protože pokud:

# (sinx) ^ x # přístupy 0

pak:

#ln ((sinx) ^ x) # přistupovat # -oo #

tak:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # přiblíží se také 0

Dále poznamenáváme, že pokud #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # bude složité číslo; nicméně, všichni algebra a počet, který my jsme používali práci v komplexním letadle také, tak toto není problém.

Odpovědět:

Obecněji…

Vysvětlení:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #

Jaká je první derivace a druhá derivace 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(první derivace)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druhá derivace)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(první derivace)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druhá derivace)"

Prokázat (1 + sinx + icosx) / (1 + sinx-icosx) = sinx + icosx?

Viz. níže. Pomocí identity de Moivre, která uvádí e ^ (ix) = cos x + i sin x máme (1 + e ^ (ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) (1+ e ^ (- ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) POZNÁMKA e ^ (ix) (1 + e ^ (- ix)) = (cos x + isinx) (1+ cosx-i sinx) = cosx + cos ^ 2x + isinx + sin ^ 2x = 1 + cosx + isinx nebo 1 + cosx + isinx = (cos x + isinx) (1 + cosx-i sinx)

Co je derivace (sinx) ^ tanhx? Pokud mi pomůžete, jsem vděčný díky ...

Sin (x) ^ tanh (x) * (1-tanh ^ 2 (x)) * ln (sin (x)) + "" "sin (x) ^ (tanh (x) -1) * tanh (x) * cos (x) "Derivace" f (x) ^ g (x) "je obtížný vzorec na zapamatování." "Pokud si to nemůžete dobře pamatovat, můžete to odvodit následovně:" x ^ y = exp (y * ln (x)) => f (x) ^ g (x) = exp (g (x) * ln (f (x))) => (f (x) ^ g (x)) ' = exp (g (x) * ln (f (x))) (g (x) * ln (f (x))) "" (řetězové pravidlo + derivace exp (x)) "= exp (g (x ) * ln (f (x))) (g '(x) * ln (f (x)) + g (x) (f' (x)) / f (x)) = f (x) ^ g ( x) * g '(x)