Odpovědět:
#(-9/14,3/28)#
Vysvětlení:
Začneme # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Toto není ani ve standardní formě ani ve formě vertexu a já vždy dávám přednost práci s jednou z těchto dvou forem. Takže mým prvním krokem je převést tento nepořádek na standardní formu. Děláme to změnou rovnice, dokud to nevypadá # y = ax ^ 2 + bx + c #.
Nejprve se zabýváme # (x + 1) ^ 2 #. Přepíšeme to jako # (x + 1) * (x + 1) #, a zjednodušit použití distribuce, to vše nám dává # x ^ 2 + x + x + 1 #, nebo # x ^ 2 + 2x + 1 #.
Teď máme # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Pokud to zjednodušíme # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, který nás nechává # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Nyní můžeme kombinovat podobné termíny. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # nám dává # 7x ^ 2 #, a # 6x + 3x # rovná se # 9x #. Teď máme # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, která je ve standardní podobě. Nenechte se však příliš pohodlně, protože budeme konvertovat že do tvaru vrcholu za minutu.
Abychom vyřešili formu vertexu, dokončíme náměstí. Mohli bychom také použít kvadratický vzorec nebo graf rovnice, kterou máme teď, ale kde je ta zábava? Dokončení náměstí je obtížnější, ale je to metoda, která stojí za to se naučit, protože je dost rychlá, jakmile se dostanete na kloub. Začněme.
Za prvé, musíme se dostat # x ^ 2 # sám (žádné koeficienty kromě čísla #1# povoleno). V našem případě musíme faktor a #7# ze všeho. To nám dává # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Odtud musíme přijmout střední období # (9 / 7x) # a rozdělit koeficient podle #2#, který je #9/14#. Pak jsme náměstí že a máme #81/196#. Dodáváme to do naší rovnice, tak jako: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
POČKEJTE!!! V rovnici jsme jen náhodně zadali náhodné číslo! To nemůžeme udělat! Jak to můžeme opravit? Co když prostě … odečteme číslo, které jsme právě přidali? Pak se hodnota nezměnila #(81/196-81/196=0)#, takže jsme neporušili žádná pravidla, že? Dobře, udělejme to.
Teď máme # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Dobře, teď jsme dobří. Měli bychom ale stále zjednodušovat, protože # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # je dlouhá a těžkopádná. Tak, #-81/196+3/7# je #3/196#a můžeme přepsat # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # tak jako # (x + 9/14) * (x + 9/14) #, nebo # (x + 9/14) ^ 2 #. Možná se divíte, proč jsem se neskombinoval #3/196# s #81/196#. No, chci vytvořit dokonalé náměstí # (x + 9/14) ^ 2 #. To je vlastně celý bod dokončení náměstí. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # nebyl faktorovatelný, takže jsem našel číslo ((9/2) / 2 ^ 2), díky němuž je faktorable. Teď máme dokonalé náměstí, s nepohodlnými, nedokonalými věcmi na konci.
Takže teď máme # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Jsme téměř hotovi, ale stále můžeme udělat ještě jednu věc: distribuovat #7# na #3/196#. To nám dává # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #a teď máme svůj vrchol! Z # 7 (x + barva (zelená) (9/14)) ^ 2 barvy (červená) (+ 3/28) #, dostaneme oba naše #color (zelená) (x) #-hodnota a naše #color (červená) (y) #-hodnota. Náš vrchol je # (barva (oranžová) (-) barva (zelená) (9/14), barva (červená) (3/28)) #. Všimněte si prosím, že znamení #color (zelená) (x) # komponenta naproti označení v rámci rovnice.
Abychom mohli zkontrolovat naši práci, můžeme jednoduše graf rovnici a najít vrchol tímto způsobem.
graf {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
Vrchol je #(.643,.107)#, což je zaoblená desetinná forma #(-9/14, 3/28)#. Měli jsme pravdu! Dobrá práce.
