Jaká je Taylorova řada f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Podívejme se na některé detaily.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} # #

Pamatujte, že geometrické mocninové řady

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

nahrazením #X# podle # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Tak, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Integrací

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

vložením integrálního znaku do součtu, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

podle pravidla Power, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Od té doby #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Pravá šipka C = 0 #

Proto, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #