Akord s délkou 12 běží od pi / 12 k pi / 6 radians na kruhu. Jaká je oblast kruhu?

Odpovědět:

Plocha kruhu je

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Vysvětlení:

Obrázek nahoře odráží podmínky stanovené v problému. Všechny úhly (zvětšené pro lepší pochopení) jsou v radiánech počítaných od horizontální osy X. #VŮL# proti směru hodinových ručiček.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Abychom mohli určit jeho plochu, musíme najít poloměr kruhu.

Víme, že akord # AB # má délku #12# a úhel mezi poloměry # OA # a # OB # (kde #Ó# je střed kruhu) je

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Sestavte nadmořskou výšku #ACH# trojúhelníku #Delta AOB # z vrcholu #Ó# na stranu # AB #. Od té doby #Delta AOB # je rovnoramenné, #ACH# je střední a úhel osy:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Uvažujme pravý trojúhelník #Delta AOH #.

Víme, že katetus # AH = 6 # a úhel # / _ AOH = pi / 24 #.

Proto hypotéza # OA #, což je poloměr našeho kruhu # r #, rovná se

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Známe poloměr, můžeme najít oblast:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Vyjádřme to bez trigonometrických funkcí.

Od té doby

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

můžeme tuto oblast vyjádřit takto:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Další trigonometrická identita:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi) / 2 #

Proto,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2 / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Nyní můžeme reprezentovat oblast kruhu jako

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Odpovědět:

Další přístup stejný výsledek

Vysvětlení:

Akord AB délky 12 ve výše uvedeném obrázku běží od# pi / 12 # na # pi / 6 # v kruhu o poloměru r a střed O, braný jako původ.

# / _ AOX = pi / 12 # a # / _ BOX = pi / 6 #

Takže polární souřadnice A # = (r, pi / 12) # a B # = (r, pi / 6) #

Použití vzorce vzdálenosti pro polární souřadnice

délka akordu AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Takže plocha kruhu

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) # #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #