Co znamená -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) rovná?

Odpovědět:

Problém je nesolventní

Vysvětlení:

Neexistují žádné oblouky, jejichž kosinus je roven 2 a 3.

Z analytického hlediska # arccos # funkce je definována pouze na #-1,1# tak #arccos (2) # & #arccos (3) # neexistují.

Odpovědět:

Opravdu # cos # a #hřích# toto nemá žádné řešení, ale jako funkce komplexních čísel najdeme:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Vysvětlení:

Jako reálné hodnoty reálných hodnot #X#, funkce #cos (x) # a #sin (x) # pouze hodnoty v rozsahu #-1, 1#, tak #arccos (2) # a #arccos (3) # jsou nedefinovány.

Definici těchto funkcí je však možné rozšířit na komplexní funkce #cos (z) # a #sin (z) # jak následuje:

Začínání s:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

můžeme odvodit:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Můžeme tedy definovat:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

pro libovolné komplexní číslo # z #.

Je možné najít více hodnot # z # které uspokojují #cos (z) = 2 # nebo #cos (z) = 3 #, takže by mohly být provedeny určité volby, které by definovaly hlavní hodnotu #arccos (2) # nebo #arccos (3) #.

K nalezení vhodných kandidátů řešte # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, atd.

Všimněte si však, že identita # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # platí pro jakékoli komplexní číslo # z #, takže můžeme odvodit:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Doufám, že je možné definovat hlavní hodnotu takovým způsobem, že #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # spíše než # -sqrt (3) i #.

V každém případě, #cos (arccos (3)) = 3 # podle definice.

To vše dohromady:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #