Číslo 90 ^ 9 má 1900 různých dělících prvků. Kolik z nich jsou čtverce celých čísel?

Odpovědět:

Wow - Dostanu odpověď na svou vlastní otázku.

Vysvětlení:

Ukazuje se, že tento přístup je kombinací kombinatoriky a teorie čísel. Začneme faktoringem #90^9# do jeho hlavních faktorů:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Trik je zde zjistit, jak najít čtverce celých čísel, což je poměrně jednoduché. Čtverce celých čísel lze z této faktorizace generovat různými způsoby:

#5^9*3^18*2^9#

Vidíme to #5^0#je například čtverec celého čísla a dělitel #90^9#; rovněž, #5^2#, #5^4#,#5^6#, a #5^8# všechny tyto podmínky splňují. Proto máme 5 možných způsobů, jak konfigurovat dělitele #90^9# to je čtverec celého čísla, používat 5s osamoceně.

Totéž platí i pro #3^18# a #2^9#. Každá stejná síla těchto primárních faktorů - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (celkem 10) pro 3 a 0, 2, 4, 6, 8 (celkem 5) pro 2 - je dokonalým čtvercem, který je dělitelem #90^9#. Dále jakékoli kombinace těchto hlavních dělitelů, kteří mají dokonce i moc, splňuje podmínky. Například, #(2^2*5^2)^2# je čtverec celého čísla, jak je #(3^8*2^4)^2#; a obojí, tvořené děliteli #90^9#, jsou také děliteli #90^9#.

Požadovaný počet čtverců celých čísel, které jsou děliteli #90^9# darováno #5*10*5#, což je násobení možných voleb pro každý primární faktor (5 pro 5, 10 pro 3 a 5 pro 2). To je rovno #250#, což je správná odpověď.