Odpovědět:
#a = 1, b = 1 #
Vysvětlení:
Řešení tradičního způsobu
# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #
Nyní řešit #A#
#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # ale #A# musí být skutečná, takže podmínka je
# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # nebo # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #
nyní nahrazuje a řeší #A#
# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # a řešení je
#a = 1, b = 1 #
Další způsob, jak udělat totéž
# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #
ale
# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #
a uzavření
# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #
Odpovědět:
D. Existuje přesně jeden pár řešení # (a, b) = (1, 1) #
Vysvětlení:
Vzhledem k:
# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #
Všimněte si, že to můžeme udělat v pěkném symetrickém homogenním problému zobecněním na:
# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #
pak nastavte # c = 1 # na konci.
Rozšíření obou stran tohoto zobecněného problému:
# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #
Odečtením levé strany z obou stran dostaneme:
# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #
#color (bílá) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #
#color (bílá) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #
Pro skutečné hodnoty #A#, # b # a #C#, toto může držet jen jestliže všichni # (a-b) #, #(před naším letopočtem)# a # (c-a) # jsou nulové a tudíž:
#a = b = c #
Pak to dá # c = 1 # nacházíme jediné řešení původního problému, totiž # (a, b) = (1, 1) #
