Odpovědět:
Viz. níže
Vysvětlení:
Soubor vektorů pokrývá prostor, jestliže každý jiný vektor v prostoru může být zapsán jako lineární kombinace spanning setu. Abychom se však dostali k tomuto smyslu, musíme se podívat na matici z vektorů sloupců.
Zde je příklad #mathcal R ^ 2 #:
Nechte naši matici #M = ((1,2), (3,5)) #
To má sloupcové vektory: #((1),(3))# a #((2),(5))#, které jsou lineárně nezávislé, takže matice je ne singulární tj. invertible atd.
Řekněme, že chceme ukázat, že všeobecný bod # (x, y) # je v rozpětí těchto 2 vektorů, tj. tak, že matice pokrývá všechny #mathcal R ^ 2 #, pak se podíváme na vyřešení tohoto problému:
#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #
Nebo:
# ((1,2), (3,5)) ((a), (beta)) = ((x), (y)) #
Můžete to vyřešit jakýmkoliv způsobem, např. Zmenšením řádků nebo obrácením M …..
#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #
Řekněme, že to chceme zkontrolovat #(2,3)# je v rozpětí této matice, M, aplikujeme výsledek, který jsme právě dostali:
#alpha = -4 #
#beta = 3 #
Zkontrolovat dvakrát:
#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!
Zvažte další matici: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Tohle je jednotné číslo protože jeho sloupcové vektory, #((1),(2))# a #((2),(4))#, jsou lineárně závislé. Tato matice se rozprostírá pouze podél směru #((1),(2))#.
