Nechť V = R3 a W = {(x, y, z) x + y + z = 0} je podprostor V., který z následujících párů vektorů je ve stejné sadě W ve V? (i) (1,3,2) a (2,2,2) (ii) (1,1,1) a (3,3,3).

Odpovědět:

# #

# mbox {i)} (1,3,2) mbox {a} (2,2,2): #

# qquad quad qquad mbox {dělejte do stejné množiny} W. #

# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {a} (3,3,3): #

# qquad quad qquad mbox {nepatří ke stejné sadě} W. #

Vysvětlení:

# #

# mbox {1) Všimněte si, že zadanou hodnotou} W, mbox {můžeme popsat} mbox {elementy} W mbox {jako tyto vektory} V t mbox {kde} mbox {součet souřadnic je} t

# #

# mbox {2) Připomeňme si, že:} #

# mbox {dva vektory patří do stejné množiny všech podprostorů} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff # #

# qquad mbox {jejich rozdíl patří samotnému subprostoru}. #

# #

# mbox {3) Tak určit členství ve stejné sadě} W, mbox {je nutné a dostačující určit, zda}} {{}} {{}} těchto vektorů patří}} W: #

# qquad vec {v_1}, vec {v_2} v mbox {stejná souprava} Wadadfadad {v_1} - vec {v_2} v w. #

# #

# mbox {Tedy podle popisu} mbox {in (1) výše, máme:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} v mbox {stejná souprava} W quad iff quad mbox {součet souřadnic} {v_1} - {{v_2}} = = # #

# #

# mbox {Je to záležitost tohoto jednoduchého výpočtu.} # #

# #

# 4) mbox {Pokračování dvou daných dvojic vektorů a} mbox {provedení tohoto výpočtu na každém páru, zjistíme: #

# quadbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {a tak} #

# qquad quad mbox {součet souřadnic} čtyřúhelníku (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Hence:} qquad quad qquad (1,3,2) mbox {a} (2,2,2) #

# qquad qquad quad qquad mbox {patří do stejné množiny} W. #

# #

# quad box {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {a tak} #

# qquad quad mbox {součet souřadnic} čtyřúhelníku (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Hence:} qquad quad qquad (1,1,1) mbox {a} (3,3,3) #

# quad quad quad mbox {nepatří ke stejné sadě} W. #