Kořeny {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 jsou takové, že každé x_i = 1. Jak dokazujete, že pokud b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Jinak b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Kořeny {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 jsou takové, že každé x_i = 1. Jak dokazujete, že pokud b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Jinak b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Odpovědět:

Namísto toho je odpověď # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # a odpovídající rovnice jsou # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 a x ^ 6 + -1 = 0. #.

Vysvětlení:

Dobrá odpověď z Cesereo R mi umožnila upravit

Moje dřívější verze, aby moje odpověď v pořádku.

Formulář # x = r e ^ (i theta) # představovat jak skutečné, tak komplexní

kořeny. V případě skutečných kořenů x, r = | x |., Agreed! Pokračujme.

V této formě, s r = 1, se rovnice rozdělí do dvou rovnic, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Chcete-li být v pohodě, vyberte nejprve (3) a použijte #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. To dává

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, s řešeními

#sin 3theta = 0 až theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 až theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, s k jako dříve. … (4)

Tady, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 až a v -2, 2 # … (5)

(3) snižuje (1) na

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Použitím #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) snižuje (1) na

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 až b = 1 #… (7)

Nyní, od (6), # a = + -2 #

Hodnoty (a, b) jsou tedy (+ -2, 1)..

Odpovídající rovnice jsou # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 a (x ^ 6 + 1) = 0 #

To však není zcela shodné s hodnotami Cesareova hodnot pro (a,), myslím si, že musím znovu přezkoumat svou odpověď, když vezmeme v úvahu (4) a (6) společně, při nastavení a = 0, b = - 1. Snadné ověření # (a, b) = (0, -1) #je řešení a odpovídající rovnice je # x ^ 6-1 = 0 #, se dvěma skutečnými kořeny #+-1#. Tady, # 6 theta = (4k-1) pi a cos 6theta = -1 #, a tak, (6) se stane b = 1, když a = 0 také. Máte 100% pravdu, Cesareo. Děkuji.

Úplně úplná odpověď je tak, jak je uvedena v poli pro odpověď.

Poznámka: Toto je další návrh, ale vzpomínám si a učiním prohlášení o tom, jak jsem v této otázce co nejdříve stanovil nerovnosti.

Naneštěstí, můj zápis na tuhle záležitost šel do popelnice. Pokud je tato odpověď správná, ale ne, já #litovat# pro stejné. Musím změnit otázku pro tuto odpověď. Myslím, že rychle, ale typ, v synchronizaci s myšlení. Chyby se snadno začleňují do mých myšlenek.

Očekávám, že neurologové podpoří mé vysvětlení, pro vstup chyb do naší tvrdé práce.

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Předpokládejme, že # {a, b} v RR # máme to #b = pm1 #

protože #b = Pix_i #. Teď dělat #y = x ^ 3 # my máme

# y ^ 2 + aypm1 = 0 # a řešení # y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # ale

# absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) = 1 #

Řešení pro #A# my máme # a = {0, -2,2} #

Rovnice # x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # je ekvivalentní jedné z možností

# x ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

# a_0 = {- 2,0,2} #

# b_0 = {- 1,1} #