Proč potřebujete najít trigonometrickou formu komplexního čísla?

V závislosti na tom, co musíte udělat s komplexními čísly, může být trigonometrický formulář velmi užitečný nebo velmi trnitý.

Například let # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # a # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Pojďme spočítat dvě trigonometrické formy:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # a # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # a # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # a # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Takže trigonometrické formuláře jsou:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Přidání

Řekněme, že chcete spočítat # z_1 + z_2 + z_3 #. Pokud použijete algebraickou formu, dostanete

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Docela snadné. Nyní zkuste trigonometrický formulář …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Ukazuje se, že nejkratší způsob, jak přidat tyto dva výrazy, je vyřešit kosiny a sinus, což znamená … obrátit se na algebraickou formu!

Algebraická forma je často nejlepší forma zvolit v přidávání komplexních čísel.

Násobení

Nyní se snažíme spočítat # z_1 * z_2 * z_3 #. Použití algebraických forem vyžaduje spoustu nepříjemných výpočtů. Řešení tohoto produktu s trigonometrickými formami je však jednodušší:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Přísady, které dokazují, že druhá zásada rovnosti pochází z trigonometrie: dva adiční vzorce

#sin (alfa + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

Násobení složitých čísel je v exponenciální podobě ještě čistší (ale koncepčně ne jednodušší).

V nějakém smyslu, trigonometrická forma je druh v-mezi formou mezi algebraickou a exponenciálními formami. Trigonometrický formulář je způsob, jak přepínat mezi těmito dvěma. V tomto smyslu je to "slovník", který má "překládat" formuláře.