Jaký je vzorec pro nalezení oblasti pravidelného dodekagon?

Odpovědět:

#S_ ("pravidelný dodecagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "strana" ^ 2 ~ = 11.196152 * "strana" ^ 2 #

Vysvětlení:

Uvažujeme-li o pravidelném dodecagonu vepsaném do kruhu, vidíme, že je tvořen 12 rovnoramennými trojúhelníky, jejichž strany jsou poloměrem kruhu, poloměrem kružnice a stranou dodecagon; v každém z těchto trojúhelníků je úhel protilehlý k straně dodecagon roven #360^@/12=30^@#; oblast každého z těchto trojúhelníků je # ("side" * "výška) / 2 #Abychom problém vyřešili, musíme pouze určit výšku kolmou na stranu dodekadonu.

Ve zmíněném rovnoramenném trojúhelníku, jehož základem je strana dodecagon a jehož rovné strany jsou poloměry kruhu, jejichž úhel je proti základně (# alpha #) je rovný #30^@#, existuje pouze čára nakreslená z vrcholu, ve kterém se radius kruhu setkává (bod C), které zachytí kolmo na stranu dodecagonu: tato čára ohýbá úhel # alpha # také definuje výšku trojúhelníku mezi bodem C a bodem, ve kterém je základna zachycena (bod M), stejně jako rozdělení základny ve dvou stejných částech (všechny proto, že dva menší trojúhelníky takto vytvořené jsou kongruenty).

Jelikož dva menší trojúhelníky jsou ty pravé, můžeme takto určit výšku rovnoramenného trojúhelníku takto:

#tan (alpha / 2) = "opačný katetus" / "přilehlý katetus" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("strana" / 2) / "výška" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Pak máme

#S_ (dodecagon) = 12 * S (trojúhelník) = 12 * ((“strana”) (“výška”)) / 2 = 6 * (“strana”) (“strana”) / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("strana") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #