Proč neexistují faktoriály pro záporná čísla?

Odpovědět:

Pokud by existovala, došlo by k rozporu s jeho funkcí.

Vysvětlení:

Jedním z hlavních praktických použití faktoriálu je poskytnout vám počet způsobů, jak permutovat objekty. Nemůžete permutovat #-2# objekty, protože nemůžete mít méně než #0# objekty!

Odpovědět:

Záleží na tom, co myslíte …

Vysvětlení:

Faktoriály jsou definovány pro celá čísla následovně:

#0! = 1#

# (n + 1)! = (n + 1) n! #

To nám umožňuje definovat, co máme na mysli pod pojmem "faktoriál" pro jakékoliv nezáporné celé číslo.

Jak lze tuto definici rozšířit na další čísla?

Funkce gama

Existuje nepřetržitá funkce, která nám umožňuje „spojit se s tečkami“ a definovat „faktoriální“ pro jakékoliv nezáporné reálné číslo?

Ano.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

To dokazuje integrace podle částí #Gamma (t + 1) = t Gamma (t) #

Pro kladná celá čísla # n # shledáváme #Gamma (n) = (n-1) # #

Můžeme rozšířit definici #Gamma (t) # na záporná čísla pomocí #Gamma (t) = (Gamma (t + 1)) / t #, s výjimkou případu #t = 0 #.

To bohužel znamená #Gamma (t) # není definováno, kdy # t # je nula nebo záporné celé číslo. # Gamma # funkce má jednoduchý pól na #0# a záporná celá čísla.

Jiné možnosti

Existují nějaká další rozšíření "faktoriálu", která mají hodnoty pro záporná celá čísla?

Ano.

Římský faktoriál je definován takto:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, pokud n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), pokud n < 0):} #

Toto je pojmenováno po matematikovi S. Romanovi, ne Římanům a je používáno k poskytnutí vhodné notace pro koeficienty harmonického logaritmu.