Prokázat, že Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Pravá strana:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = postýlka x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Levá strana:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = postýlka (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Jsou si rovni #quad sqrt #

Odpovědět:

Vzorec faktoru (identita součtu a součtu produktu k součtu)

Vysvětlení:

Pro tuto otázku můžeme použít Suma k produktu a Produkt k součtu identit.

Jsem líný, takže tady je obrázek identit.

Výše uvedený vzorec produkt-součet může být odvozen pomocí identit složených úhlů.

Použití střídání #alpha = a + b # a #beta = a - b #, můžeme získat následující vzorce od produktu k součtu.

Takže teď, když jsme to vyřešili, aplikujme naše vzorce.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = dětská postýlka (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = postýlka (x) (sin (5x) - hřích (3x)) #

Alternativně můžete také použít vzorec pro součet produktů na pravé straně:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS.

# QED #

Je známo, že rovnice bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 má jeden skutečný kořen. Prokázat, že rovnice x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nemá žádné skutečné kořeny.?

Viz. níže. Kořeny pro bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 jsou x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Kořeny budou shodné a reálný jestliže a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 nebo a = b nebo a = 5b Nyní řešení x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 máme x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Podmínkou pro komplexní kořeny je ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 nyní a = b nebo a = 5b máme a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Závěr, pokud bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 má shodné skutečné kořeny, pak x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 bude

"Lena má 2 po sobě jdoucí celá čísla."Všimne si, že jejich součet se rovná rozdílu mezi jejich čtverci. Lena vybírá další 2 po sobě jdoucí celá čísla a všimne si totéž. Prokázat algebraicky, že to platí pro všechny 2 po sobě jdoucí celá čísla?

Laskavě se podívejte na Vysvětlení. Připomeňme, že po sobě jdoucí celá čísla se liší o 1. Proto, pokud m je jedno celé číslo, pak musí být následující celé číslo n + 1. Součet těchto dvou celých čísel je n + (n + 1) = 2n + 1. Rozdíl mezi jejich čtverci je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, podle potřeby! Cítit radost z matematiky!

Prokázat, že: -cot ^ -1 (theta) = cos ^ -1 (theta) / 1 + (theta) ²?

Nechte lůžko ^ (- 1) theta = A pak rarrcotA = theta rarrtanA = 1 / theta rarrcosA = 1 / secA = 1 / sqrt (1 + tan ^ 2A) = 1 / sqrt (1+ (1 / theta) ^ 2) rarrcosA = 1 / sqrt ((1 + theta ^ 2) / theta ^ 2) = theta / sqrt (1 + theta ^ 2) rarrA = cos ^ (- 1) (theta / (sqrt (1 + theta ^ 2)) ) = postýlka ^ (- 1) (theta) rarrthereforecot ^ (- 1) (theta) = cos ^ (- 1) (theta / (sqrt (1 + theta ^ 2)))