Převést všechna složitá čísla na trigonometrický formulář a pak výraz zjednodušit? Odpověď napište do standardního formuláře.

Odpovědět:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2

Vysvětlení:

V další odpovědi na tuto otázku jsem hádal, že v této otázce existuje překlep #-3# měl být # -sqrt {3} #. Byl jsem ujištěn v komentáři, že to není ten případ, že otázka je správná, jak je napsáno.

Nebudu opakovat, jak jsme se rozhodli

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis}

# sqrt {3} + i = 2 text {cis}

Ale teď musíme konvertovat # -3 + i # na trigonometrický formulář. Můžeme to udělat, ale protože to není jeden z Trigových preferovaných trojúhelníků, je to trochu trapnější.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Jsme ve druhém kvadrantu a hlavní hodnotou inverzního tangentu je čtvrtý kvadrant.

# úhel (-3 + i) = text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# -3 + i = sq {10} text {cis} (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

De Moivre na takovémto formuláři nefunguje velmi dobře, dostaneme

# (-3 + i) ^ 3 = sq {10 ^ 3} text {cis} (3 (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

Ale nejsme uvíznutí. Protože exponent je pouze #3# můžeme to udělat s trojnásobným úhlem. Řekněme konstantní úhel, který jsme našli

#theta = úhel (-3 + i) #

De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (qrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

Víme

# theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Vypadá to, že je to mnohem víc práce než jen kockování # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

OK, udělejme problém:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) {{cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / {{cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {{cis} (225 ^ circ)} / {{cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) (- 75 ^ circ) #

Nikdy to neskončí. Dostaneme

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sq {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 ({6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #