Jak konvertujete r = 1 / (4 - costheta) do kartézské formy?

Odpovědět:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Vysvětlení:

Hej, Socratic: Je to opravdu nutné, aby nám to bylo řečeno před 9 minutami? Nelíbí se mi lhát. Řekněte nám, že to bylo před dvěma lety a nikdo to ještě nedokázal. Také co se děje s podezřele identicky formulovanými otázkami z několika míst? Nemluvě o Santa Cruz, Spojené státy? Je to téměř jistě víc než jeden, i když jsem v Kalifornii slyšel ten pěkný. Důvěryhodnost a pověst jsou důležité, zejména v domácích úkolech. Nezavádějte lidi. Konec rant.

Při převodu rovnic z polárních na obdélníkové souřadnice se jedná o hrubou sílu obdélníkové až polární substituce

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

je zřídkakdy nejlepším přístupem. (Úmyslně indikuji čtyři kvadranty, které jsou zde tangenciální, ale nenechte se odklonit.)

V ideálním případě chceme použít polární až obdélníkové substituce, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

Podívejme se na otázku.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Tyto polární rovnice obecně umožňují negativní # r #, ale tady jsme si jisti # r # je vždy pozitivní.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Myslím si, že jsou to elipsy, které ve skutečnosti nezáleží, ale dávají nám nějakou představu o tom, jak vypadá obdélníkový tvar. Chceme se zaměřit na něco, co nemá odmocniny nebo arctangenty # r = sq {x ^ 2 + y ^ 2} # má čtvercové kořeny, ale #rcos theta = x # ne, takže se roztahujeme.

# 4r - rcos theta = 1 #

Nyní už jen nahrazujeme; uděláme to v krocích.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Pojďme teď na náměstí. Víme #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Tohle je pěkně kruhová elipsa. (Menší konstanta než #4# v původním by dal ještě výstřednější elipsu.) Náměstí jsme mohli doplnit do standardního tvaru, ale necháme to tady.