Odpovědět:
Tip 1: Předpokládejme, že rovnice # x ^ 2 + x-u = 0 # s # u # celé číslo má celočíselné řešení # n #. Ukaž to # u # je dokonce.
Vysvětlení:
Li # n # je řešení, které je celé číslo # m # takové
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Kde #nm = u # a # m-n = 1 #
Ale druhá rovnice to znamená #m = n + 1 #
Oba # m # a # n # jsou celá čísla, takže jeden z # n #, # n + 1 # je dokonce a #nm = u # je dokonce.
Tvrzení
Li # u # je liché celé číslo, pak rovnice # x ^ 2 + x - u = 0 # nemá žádné řešení, které je celé číslo.
Důkaz
Předpokládejme, že existuje celočíselné řešení # m # rovnice:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
kde # u # je liché celé číslo. Musíme prozkoumat dva možné případy:
# m # je zvláštní; nebo
# m # je dokonce.
Nejdříve se podívejme na případ, kdy # m # je liché, pak existuje celé číslo # k # takové, že:
# m = 2k + 1 #
Od té doby # m # je kořenem naší rovnice, musí to být:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
A máme rozpor, jako # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # je dokonce, ale # u # je zvláštní.
Podívejme se na případ, kdy # m # je dokonce, pak existuje celé číslo # k # takové, že:
# m = 2k #
Podobně, protože # m # je kořenem naší rovnice, musí to být:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
A opět, máme rozpor, jako # 2 (2k ^ 2 + k) # je dokonce, ale # u # je zvláštní.
Tak jsme dokázali, že neexistuje žádné celočíselné řešení rovnice # x ^ 2 + x - u = 0 # kde # u # je liché celé číslo.
Tvrzení je tedy prokázáno. QED
Odpovědět:
Viz. níže.
Vysvětlení:
Li # x ^ 2 + x-u = 0 # pak
#x (x + 1) = u # pak jestliže #X# je celé číslo, #x (x + 1) # je dokonce rozporuplný, protože # u # hypotézou je zvláštní.
