Jak se dělí (i + 8) / (3i -1) v trigonometrickém tvaru?

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Nejprve musíme tyto dvě čísla převést na trigonometrické formy.

Li # (a + ib) # je komplexní číslo, # u # je jeho velikost a # alpha # je jeho úhel # (a + ib) # v goniometrickém tvaru je psán jako #u (cosalpha + isinalpha) #.

Velikost komplexního čísla # (a + ib) # darováno#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # a jeho úhel je dán # tan ^ -1 (b / a) #

Nechat # r # být velikost # (8 + i) # a # theta # být jeho úhel.

Velikost # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Úhel # (8 + i) = Tan ^ -1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Nechat # s # být velikost # (- 1 + 3i) # a # phi # být jeho úhel.

Velikost # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Úhel # (- 1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Nyní,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #)

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Zde máme každou přítomnou věc, ale pokud zde přímo nahradí hodnoty, slovo by bylo pro hledání chaotický #theta -phi # tak ať to nejdříve zjistíme # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Víme, že:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#impli tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3)))

# = tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

To je vaše poslední odpověď.

Můžete to také udělat jinou metodou.

Prvním dělením komplexních čísel a jejich změnou na trigonometrický tvar, což je mnohem jednodušší než toto.

Nejprve zjednodušíme dané číslo

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Vynásobte a vydělte konjugátem komplexního čísla přítomného ve jmenovateli, t.j. # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Nechat # t # být velikost # (1 / 10- (5i) / 2) # a #beta# být jeho úhel.

Velikost # (- 1 / 2- (5i) / 2) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Úhel # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2) = tan ^ -1 (5) = beta #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.