Jaká je nová metoda transformace k řešení kvadratických rovnic?

Řekněte například, že máte …

# x ^ 2 + bx #

To lze převést na:

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Pojďme zjistit, zda se výše uvedený výraz překládá zpět do # x ^ 2 + bx #…

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({x + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (x + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = x ^ 2 + bx #

Odpověď je ano.

Nyní je důležité si uvědomit, že # x ^ 2-bx # (všimněte si znaménka mínus) lze převést na:

# (x-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

To, co tady děláte, je dokončení náměstí. Můžete vyřešit mnoho kvadratických problémů vyplněním náměstí.

Zde je jeden základní příklad této metody při práci:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# x ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# x = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Slavný kvadratický vzorec může být odvozen dokončení náměstí.

Nová metoda transformace k řešení kvadratických rovnic.

PŘÍPAD 1. Typ řešení # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Řešení znamená najít 2 čísla, která znají jejich součet (# -b #) a jejich t#C#). Nová metoda kombinuje dvojice faktorů (#C#) a zároveň aplikuje pravidla pro označování. Pak najde pár, jehož součet se rovná (# b #) nebo (# -b #).

Příklad 1. Řešit # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Řešení. Sestavte dvojice faktorů #c = -102 #. Kořeny mají různá znamení. Pokračovat: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# Poslední součet # (- 6 + 17 = 11 = -b). Pak jsou 2 skutečné kořeny: #-6# a #17#. Žádné seskupování.

PŘÍPAD 2. Řešení standardního typu: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

Nová metoda transformuje tuto rovnici (1) na: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Vyřešte rovnici (2), jako jsme to udělali v případě 1, abychom získali 2 skutečné kořeny # y_1 # a # y_2 #. Dále rozdělte # y_1 # a # y_2 # koeficientem a získat 2 skutečné kořeny # x_1 # a # x_2 # původní rovnice (1).

Příklad 2. Řešit # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240.

Transformovaná rovnice: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Řešit rovnici (2). Oba kořeny jsou pozitivní (pravidla známek). Sestavte dvojice faktorů # a * c = 240 #. Pokračovat: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Tato poslední částka je # (5 + 48 = 53 = -b) #. Pak jsou 2 skutečné kořeny: # y_1 = 5 # a

# y_2 = 48 #. Zpět na původní rovnici (1), 2 skutečné kořeny jsou: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; a # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Žádný faktoring a řešení binomií.

Výhody nové transformační metody jsou: jednoduché, rychlé, systematické, bez hádání, bez faktoringu seskupováním a bez řešení binomií.